• Mandelbrot et les fractales

    Jean-Pierre Louvet Enseignant IUT

     

    À partir d'une image simple, nous allons découvrir ce qu'est la dimension fractale, comment elle permet de quantifier la notion d'autosimilarité, et son caractère non intuitif. Par exemple, le fait que la longueur de la côte de Bretagne est potentiellement infinie.

    Avant de nous aventurer à donner une définition théorique, le plus simple est de donner un exemple classique de fractale, la courbe de von Koch, dans sa variante appelée habituellement « flocon de neige de von Koch ». Cette courbe a été publiée en 1904 et le titre de l'article mérite d'être cité : « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire ».

     

    Cette « courbe » s'obtient en appliquant à chaque côté d'un triangle équilatéral une transformation simple : on remplace le 1/3 central de chaque côté par deux segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée et on recommence la même opération sur chaque côté de la figure obtenue. À la première itération (« Action de répéter, de faire de nouveau », Petit Larousse), on obtient une image proche d'une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives, le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. Remarque capitale, à quelque grossissement qu'on examine la « courbe », on observera les mêmes détails... pour autant que le nombre d'itérations soit infini (ou, au moins, assez important).

     

    Remarquons au passage qu'il est matériellement impossible de dessiner exactement une fractale puisqu'il faudrait poursuivre les itérations à l'infini. En pratique, on s'arrête quand les plus petits détails sont inférieurs à la résolution de l'écran.

    Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse. La première intuition conduit à penser que le périmètre de cette figure tend vers une valeur limite finie, puisqu'on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives. En réalité, à la première itération la longueur L de chaque côté est remplacée par 4 segments de longueur L/3 ; à la deuxième elle devient 16 L/9... À chaque itération la longueur est donc multipliée par 4/3, ce qui signifie que (contrairement à l'intuition première) la longueur d'une courbe de Koch tend vers l'infini pour un nombre d'itérations infini (série géométrique de raison 4/3). Et pourtant cette courbe ne déborde à aucun moment des limites constituées à l'extérieur par le cercle circonscrit au triangle initial, et à l'intérieur par le cercle inscrit dans ce triangle ! En d'autres termes une surface de dimension finie est limitée par une frontière de longueur infinie.

    Question : sauriez-vous démontrer que cette surface tend vers

    Mandelbrot et les fractales

    a étant la longueur du côté du triangle initial ?

    Notion de dimension fractale

    Une autre propriété encore moins intuitive est relative à la dimension géométrique des objets fractals (attention, ne confondez pas dimension et longueur !). Nous savons tous qu'un point est une figure de dimension 0 ; qu'une ligne droite est un objet de dimension 1 ; qu'une surface plane est un objet de dimension 2 ; qu'un volume est de dimension 3... Ceci est la dimension euclidienne ou topologique (en réalité ces deux termes ne sont pas strictement synonymes). Qu'en est-il d'un objet fractal ? Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d'un objet.

    On peut tenter une approche simplifiée. Supposons qu'on veuille mesurer la limite (supposée droite) entre deux terrains, que cette longueur soit de 10 m et qu'on dispose d'une règle de 1 m. Il est évident qu'on doit l'appliquer 10 fois le long de la limite pour faire la mesure. Si la règle fait 0,5 m on devra la reporter 20 fois. Autrement dit, si l'on divise par n la longueur de la règle, on doit multiplier par n le nombre de fois où on la reporte, ce qui donne un rapport de n/n=1.

    Si la longueur à mesurer est une courbe on comprend qu'en utilisant une règle droite reportée n fois de la même manière on n'aura qu'une valeur approximative, notablement sous-évaluée. Plus la règle sera courte, plus l'opération sera fastidieuse, mais plus le résultat sera précis. Pour une règle suffisamment (infiniment) petite, si je divise par n sa longueur, je multiplie encore par n le nombre de fois où je l'applique le long de la ligne et j'obtiendrai la longueur exacte de la courbe. Ceci donne toujours un rapport de n/n, soit 1 (c'est vrai aussi si j'écris ln n/ln n, remarque qui va nous servir bientôt). On voit clairement dans l'image ci-dessous qu'on se rapproche de plus en plus de la longueur réelle de la courbe rouge quand on prend la règle verte, la jaune et enfin la bleue.

    Mandelbrot et les fractales

    Imaginons maintenant que je veuille paver une surface carrée de côté L. Si j'utilise un carreau unité de côté l = L/2 il faudra 4 de ces carreaux pour paver le carré initial. S'il a un côté de longueur l = L/4, il en faudra 16, etc. Si l'on divise le côté par un facteur n, on multiplie le nombre de carreaux par n2.

    On ne peut pas utiliser dans ce cas le rapport n2/n pour mesurer la dimension d'une surface (on sait depuis Euclide qu'elle est égale à 2) car 4/2 = 2, mais 16/4 = 4, etc.

    En revanche log n2/log n = 2 dans tous les cas. La même démarche s'applique pour les volumes où l'on aura log n3/log n = 3.

     

    Mandelbrot et les fractales

    Prenons maintenant une surface quelconque, un carré unité quelconque et divisons-le successivement en utilisant un facteur quelconque n. Si la taille du carré n'est pas négligeable on ne peut pas paver de façon satisfaisante la surface et on va en sous-estimer la valeur. Soit N le nombre de carrés inclus dans la surface. Plus le carré est petit, plus le pavage est satisfaisant. Il est évident que la surface estimée sera d'autant plus proche de la surface réelle que le carré unité sera petit. Là encore on peut démontrer que log N/log n tend vers 2 si N tend vers l'infini. De même pour les volumes log N/log n tend vers 3 si N tend vers l'infini.

    Pourquoi tant de complications puisque le résultat donne la valeur de la dimension euclidienne (ou topologique) bien connue ? C'est parce que, si c'est vrai pour les objets de la géométrie classique, ce n'est pas vrai dans d'autres cas.

    Sans entrer dans les détails, on peut penser qu'un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n'emplissant qu'une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. L'image ci-dessous montre en effet clairement que chaque fois qu'on réduit d'un facteur 3 la longueur de la règle, on multiplie par 4 le nombre de fois où l'on doit l'appliquer le long de la figure. Ceci démontre que sa dimension fractale est égale à ln 4/ln 3=1,26... Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières mais ce n'est pas obligatoire, contrairement à certaines définitions erronées qu'on peut lire.

     

    Mandelbrot et les fractales

    Ceci est encore moins intuitif qu'une longueur infinie, mais nous amène à une définition à peu près correcte des fractales : les fractales sont des objets dont la dimension fractale est strictement supérieure à la dimension topologique.

    Cette dimension est habituellement assimilée à la dimension de Hausdorff-Besicovitch. En fait, c'est faux et c'est vrai à la fois. Faux parce que l'expression générale de la dimension de Hausdorff-Besicovitch est très abstraite (elle est d'ailleurs souvent trop difficile à calculer pour être utilisée). Vrai parce que dans les fractales linéaires simples telles que la courbe de von Koch, les dimensions fractales et de Hausdorff-Besicovitch sont égales.

    Si j'ai bien compris les explications de Mandelbrot dans l'appendice mathématique de son livre Les objets fractals, la dimension fractale semble être la dimension de recouvrement de Pontrjagin et Schnirelman : soit un objet situé dans un espace à n dimensions qu'on recouvre par le plus petit nombre N possible de « boules » de rayon r. Sa dimension de recouvrement est log N/log (1/r) quand r tend vers 0 (j'ai légèrement modifié la formule pour éviter un  dont l'affichage dépend des jeux de caractères disponibles).

    Il y a d'ailleurs d'autres approches de la notion de dimension qui ne sont pas toutes équivalentes et les travaux de Kolmogorov et Tihomirov relient la dimension de recouvrement à la notion d'entropie. Pour d'autres précisions, voir ici

    La côte de la Bretagne considérée comme une fractale

    Le cas du flocon de von Koch nous conduit directement à une question abordée par Mandelbrot et qui a beaucoup contribué à la popularité des fractales : quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? En fait, le premier à avoir abordé cette question et à y avoir répondu correctement est Jean Perrin, dans une préface prémonitoire de son livre Les atomes, publié en 1913, texte auquel Mandelbrot rend un hommage appuyé dans Les objets fractals. Un extrait important du texte de Jean Perrin peut être consulté dans le PDF suivant : ici (pages 15 « Nous savons tous... » à 19 « ... le contour délicat et compliqué »).

    Remarquons que cette côte présente de très nombreuses circonvolutions avec quelques grands golfes qui contiennent des golfes plus petits et des criques de toutes tailles, ainsi que des promontoires plus ou moins découpés. Sur le terrain nous observerons en outre des détails de plus petite taille qui ne peuvent pas être représentés sur la carte et qui sont dus aux irrégularités des rochers. Imaginons l'ogre du conte parcourant cette côte avec des bottes de 7 lieues. En comptant le nombre d'enjambées (n), il trouvera une longueur approchée pour cette côte (soit nfois 7 lieues). S'il enlève les bottes de 7 lieues pour faire le même chemin à pied, il trouvera une longueur plus importante. Imaginons le même voyage fait par le Petit Poucet (à pied), par un chien ou par une fourmi : chacun trouvera une longueur plus grande et, chose importante, ces valeurs approchées ne convergent pas vers une longueur finie qu'on pourrait extrapoler à partir des résultats donnés par chacun. Au contraire, tout comme le flocon de von Koch, la longueur de la côte de la Bretagne est, en toute rigueur, infinie.

    Quelle est la contribution de Mandelbrot au problème de la longueur des côtes ? Dans l'article « How long is the coast of Britain ? Statistical self-similarity and fractional dimension » (Sciences, 155, 636-638 ; 1968), l'auteur part des résultats d'un article peu connu de Richardson où ce dernier montre que la longueur d'une côte est fonction d'une puissance α du pas (au sens de l'explication ci-dessus). Là où ce dernier ne voyait dans α qu'un exposant empirique de sa formule, Mandelbrot interprète 1+α comme une dimension (au sens de Hausdorff et Besicovitch) et montre la nature fractale (le terme n'existait pas encore) des côtes. Ce travail semble avoir été à l'origine des recherches de Mandelbrot et de ses continuateurs sur l'utilisation des fractales pour obtenir des images de synthèse de paysages. En effet, un raisonnement du même type peut être appliqué au relief, c'est-à-dire en passant de la dimension euclidienne 2 à la dimension 3.

    Autosimilarité

    Reprenons une phrase écrite plus haut à propos de la courbe de von Koch : « Remarque capitale, à quelque grossissement qu'on examine la "courbe" on observera les mêmes détails ». Ceci est une propriété importante de toute structure fractale désignée par les termes « autosimilarité », « homothétie interne » ou encore « invariance d'échelle ». Cette propriété s'explique par le fait que toute image fractale est engendrée par un processus d'itération théoriquement infini. Dans le cas de la courbe de von Koch les choses sont très simples puisque les détails sont rigoureusement identiques quelle que soit l'échelle. C'est pourquoi, quand on regarde une portion de cette figure il est impossible de dire si on la regarde à l'échelle 1, ou si l'on a fait un zoom de 10 fois, 100 fois, ou 1 million de fois.

    Mais cette stricte identité n'est qu'un cas particulier. Dans de nombreuses fractales obtenues à partir de fonctions mathématiques, les détails sont simplement similaires sans être strictement identiques. Il en est de même pour les structures fractales observées dans les objets naturels : les différents golfes et les criques de la côte de Bretagne n'ont pas exactement le même dessin ; il n'empêche que cette côte a indiscutablement une structure fractale dont on peut calculer la dimension. En outre, les structures fractales naturelles ne sont pas fractales à l'infini : l'autosimilarité s'arrête en général à un moment (si en explorant la côte on tombe sur une jolie plage de sable fin bien régulière, il est évident qu'elle n'est pas fractale).

    Les images fractales théoriques ont donc une propriété que ne montre aucune autre figure géométrique ou aucune courbe mathématique : on peut zoomer dedans à l'infini, on observera toujours de nouveaux détails. C'est cet aspect particulier de la notion d'infini qui rend les fractales si fascinantes et qui a contribué à leur popularité (au point même que certains en ont tiré des élucubrations mystico-philosophiques). Cette propriété est largement exploitée par les créateurs d'images fractales calculées par ordinateur. Songez qu'une image de 1.600 x 900 pixels comporte 1.440.000 points calculés individuellement et faisant l'objet d'au moins 100 à 200 itérations chacun (et souvent bien plus) pour avoir une image assez précise : vous imaginez combien la puissance des ordinateurs modernes est utile. Il n'était pas rare il y a 15 ou 20 ans que certaines images aient nécessité plusieurs jours de calcul.

     

     

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  • Saturne, cette mystérieuse planète gazeuse du Système solaire

     

    Photo de Saturne en infrarouge

    Saturne, cette mystérieuse planète gazeuse du Système solaire

    Photo de Saturne en infrarouge

    De gigantesques éclairs sur Saturne

    Saturne, cette mystérieuse planète gazeuse du Système solaire

    Cette image montre des orages sur Saturne avec la lumière des éclairs. Le signal électromagnétique capté indique une puissance 1 million de fois supérieure à l'activité terrestre.

    Pour en savoir plus :

    http://www.universetoday.com/am/publish/lightning_storms_saturn.html?20122004

    Saturne et ses anneaux sur la tranche

    Saturne, cette mystérieuse planète gazeuse du Système solaire

    Cette image rare a pu être obtenue grâce au télescope spatial Hubble de la Nasa. On distingue deux aurores polaires aux extrémités de la planète et les anneaux vus sur la tranche.

    © Nasa, Esa et Jonathan Nichols (University of Leicester)

    Le vortex polaire chaud de Saturne, un tourbillon au sud de la planète

    Saturne, cette mystérieuse planète gazeuse du Système solaire

    Des astronomes ont découvert sur Saturne un phénomène climatique encore inconnu dans le Système solaire : il s'agit d'un vortex polaire (ou tourbillon polaire) chaud situé au pôle sud de la planète aux anneaux. Cette image représente le spectre d'émission thermique de Saturne.

    Des aurores polaires sur Saturne

    Saturne, cette mystérieuse planète gazeuse du Système solaire

    Ces trois magnifiques images d'aurores au pôle de Saturne ont été prises par le télescope Hubble fin janvier 2005.© Nasa, Esa, J. Clarke (Boston University) et Z. Levay (STScI)

    Une tempête sur Saturne

    Saturne, cette mystérieuse planète gazeuse du Système solaire

    Cette image en fausses couleurs, prise en infrarouge, montre une étrange structure source intense d'ondes radio. Il s'agit d'une immense tempête avec des éclairs ! Elle se trouve dans une bande de Saturne que l'on appelle l'« allée des tempêtes » en raison de leur fréquence dans cette zone.© Nasa, JPL, Space Science Institute

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    Quelle est la plus grande planète du Système solaire ? Et la plus petite ?

    Dans notre Système solaire, hormis le Soleil, qui est une étoile, quel est l'astre le plus grand et le plus massif ? Cela ne saute pas aux yeux mais, dans le ciel nocturne, Jupiter est la reine des planètes. Quant à la plus petite, il s'agit de Mercure.

     

    Jupiter : de saisissantes images de la Grande tache rouge  On trouve à la surface de Jupiter un gigantesque anticyclone d’environ 15.000 km de long. Cette Grande tache rouge, visible depuis la Terre, intrigue depuis longtemps les scientifiques. Découvrez cet étonnant phénomène durant cette vidéo proposée par la Nasa. 

    Des huit planètes qui orbitent autour du Soleil, Jupiter est la plus grande. Son diamètre est de quelque 139.822 km, soit onze fois celui de la Terre. En volume, cette géante de gaz pourrait contenir 1.300 fois notre planète. C'est toutefois moins que notre étoile, qui pourrait être emplie de 1,3 million de Terre ! (Le Soleil n'appartient toutefois pas à la même catégorie que les planètes puisqu'il s'agit d'une étoile.)

    La masse de Jupiter vaut presque 318 fois celle de notre planète rocheuse. Seule, elle représente 2,5 fois celle de toutes les planètes réunies, ce qui, somme toute, n'est rien comparé au Soleil, qui vaut pour 99,8 % de la masse totale du Système solaire !

    La géante gazeuse est la cinquième planète la plus éloignée du Soleil ; elle en est séparée en moyenne de 778 millions de km, ce qui équivaut à 5,2 fois la distance Terre-Soleil (soit 5,2 unités astronomiques). La lumière solaire met environ 43 minutes pour l'atteindre. Une année sur Jupiter, c'est-à-dire sa période de révolution, dure 4.333 jours terrestres (12 ans). Elle tourne sur elle-même en seulement dix heures.

    Saturne, cette mystérieuse planète gazeuse du Système solaire

    Jupiter, la première planète à s’être formée autour du Soleil

    Jupiter est donc la plus grande planète du Système solaire. Elle est aussi, vraisemblablement, la première à s'être formée autour du Soleil tout jeune, voici 4,6 milliards d'années. À noter que, parmi ses traits caractéristiques, le plus célèbre est la Grande Tache rouge, un anticyclone connu depuis plusieurs siècles et dont la taille équivaut actuellement à celle de la Terre (dans le passé, elle atteignait 2,5 fois la Terre).

    L'appellation Jupiter (Jus Pater) est un héritage des Romains, qui eux-mêmes l'ont emprunté aux Grecs, qui utilisaient le mot Zeus ; dans les deux cas, ces termes font référence à la lumière du jour. Ces civilisations ne connaissaient pas les dimensions de cette planète mais c'est à elle, pourtant, qu'ils donnèrent le nom du roi des dieux. Peut-être parce que, située entre Mars et Saturne, elle fait figure d'intermédiaire à travers les rouages célestes, comme ils concevaient le cosmos.

    Jupiter et les satellites galiléens

    Les astronomes connaissent à présent 67 lunes autour de la planète Jupiter. Les quatre plus grandes sont surnommées « les satellites galiléens » car elles ont été découvertes par l'illustre astronome italien Galilée au début du XVIIe siècle. Il s'agit, par ordre de proximité avec Jupiter, de :

    • Io ;
    • Europe ;
    • Ganymède ;
    • Callisto.

    Europe est un monde aussi grand que notre Lune et, sous sa surface glacée, elle possède un océan d'eau liquide (bien plus important que ceux de la Terre) potentiellement habitable.

    Mercure, la plus petite planète du Système solaire

    Quant à la plus petite planète du Système solaire, il s'agit de Mercure, qui est aussi la planète la plus proche du Soleil.

     

     

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  • La beauté de l'art fractal

     

    Le terme « fractal » a été inventé par le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot en 1974. Il permet de décrire des objets combinant plusieurs caractéristiques particulières : des parties qui ont quasiment la même forme que l'ensemble et une structure extrêmement irrégulière. L'art fractal peut apparaître en pleine nature, se cacher où on ne l'attend pas mais aussi être le produit de l'imagination d'artistes se servant de logiciels spécifiques. Découvrez dans ce diaporama des images fractales de toute beauté.

     

    L'art fractal : des images issues de logiciels

    La beauté de l'art fractal

    L'art fractal consiste à produire des images grâce à des logiciels générant des fractales. © Kobol75, Shutterstock

    L'art fractal et le design

    La beauté de l'art fractal

    L'art fractal est notamment employé dans le monde du design car il permet d'obtenir diverses textures. © Stocklady, Shutterstock

    La géométrie fractale et les fleuves : l'Amazone

    La beauté de l'art fractal

    L'Amazone, ce fleuve aux 1.000 cours d'eau, se jette dans l'océan dans un méandre fractal.

    © Nasa, DP

    Un arbre brownien né de sulfate de cuivre

    La beauté de l'art fractal

    Cet arbre brownien (un cas particulier d'arbre réel aléatoire) est né d'une solution de sulfate de cuivre dans une cellule d'électrodéposition.

    © Kevin R. Johnson, DR

    Un joyau fractal

    La beauté de l'art fractal

    Une formule mathématique assistée d'un logiciel produit de véritables bijoux.

    © Nevit, DR

    La nature fractale du chou

    La beauté de l'art fractal

    C'est bien pour sa forme et non pour sa couleur que le chou est fractal.

    © Cacophony, DR

    Une fractale naturelle de cristal de gallium

    La beauté de l'art fractal

    Ce cristal de gallium est une fractale trouvé sous terre. On trouve cet élément chimique (de symbole Ga et de numéro atomique 31) dans le minerai de bauxite et dans les minerais de zinc. © Foobar, Wikimedia Commons, CC by-sa 3.0

    Le cristal de glace et ses courbes fractales

    La beauté de l'art fractal

    L'eau se cristallise en neige par des courbes fractales. © Michael, Wikimedia Commons, CC by-sa 2.0

    La fractale de Lyapunov

    La beauté de l'art fractal

    La fractale de Lyapunov utilise la notion mathématique d'exposant de Lyapunov. © BernardH, Wikimedia Commons, CC by-sa 3.0

    Fractale réalisée grâce au logiciel Sterling

    La beauté de l'art fractal

    Cette image a été créée par l'application de la fonction fractale via le logiciel Sterling. Celui-ci a été développé en 1999 par Stephen C. Ferguson avec le langage de programmation C pour le système d'exploitation Microsoft Windows.

    © Soler 97, DR

    La coquille en spirale du nautile, une fractale naturelle

    La beauté de l'art fractal

    La coquille en spirale du nautile (ou Nautilus) est un très bel exemple de fractale naturelle.

    © Anvitel, DR

    Le réseau pulmonaire, une organisation fractale

    La beauté de l'art fractal

    Tout comme notre réseau sanguin, nos alvéoles pulmonaires sont le produit d'un chaos organisé.

    © Anvitel, DR

    Des fractales de calcaire

    La beauté de l'art fractal

    Ces jolies fractales tétraédriques de calcaire ont été trouvées sous terre, en Dordogne. © Sémhur, Wikimedia Commons, CC by-sa 4.0

    Un ensemble de Julia transformé en île imaginaire

    La beauté de l'art fractal

    Ce paysage de rêve a été modélisé à partir d'un algorithme. Un ensemble de Julia a ainsi été transformé en atoll au moyen du logiciel Terragen. © Alexis Monnerot-Dumaine, Wikimedia Commons, CC by-sa 3.0

    Les ensembles de Julia, des fractales somptueuses

    La beauté de l'art fractal

    Tels que décrits par Gaston Julia, les ensembles de Julia sont des fractales, des sous-ensembles du plan complexe associés au comportement dynamique d'une fonction holomorphe. © Eequor, Wikimedia Commons, DP

    La fractale de Mandelbrot

    La beauté de l'art fractal

    La fractale de Mandelbrot, du nom du père de la géométrie fractale, est la plus célèbre. © BernardH, Wikimedia Commons, DP

    Une nova fractale

    La beauté de l'art fractal

    Cette masse aux courbes lumineuses et aux inflexions turbulentes représente une nova.

    © Danwills, DR

    Terrain fractal réalisé à partir de bruit de Perlin

    La beauté de l'art fractal

    Ces montagnes imaginaires sont un terrain fractal réalisé à partir de bruit de Perlin. © Stevo-88, Wikimedia Commons, DP

    Le triangle de Sierpinski

    La beauté de l'art fractal

    Le triangle de Sierpinski s'obtient à partir d'un triangle plein puis d'une infinité d'itérations (ou pliage) qui consiste à diviser par deux la taille du triangle puis à en juxtaposer trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. Ce triangle se fait donc grignoter de l'intérieur par son algorithme.

    © Nevit

    Les vaisseaux sanguins et leur structure fractale

    La beauté de l'art fractal

    De même que nos alvéoles pulmonaires, les vaisseaux sanguins sont le produit d'un chaos organisé. © Patho

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    définitions d'une Fractale

    La beauté de l'art fractal

    Une figure fractale, ou « fractale », est en première approximation une courbe, une surface, un volume de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne. Ce terme « fractale » est un néologisme créé par le mathématicien Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie briséirrégulier.

    Plus généralement, une fractale désigne des objets dont la structure est invariante par changement d'échelle. Il existe en réalité une théorie mathématique précise derrière ces différents objets et qui permet de parler de structures mathématiques ayant des dimensions non-entières.

    Des structures fractales étaient connues avant leur popularisation au début des années 1980 grâce aux images calculées par les ordinateurs devenus suffisamment puissants à l'époque. On connaissait ainsi les courbes de Peano et de von Koch. De nos jours, l'ensemble de Mandelbrot et celui de Julia sont les plus célèbres.

    Des fractales dans de nombreux domaines

    Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. La théorie mathématique des fractales peut apporter des informations intéressantes dans plusieurs domaines scientifiques comme :

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    Bio-inspirations, fractales, complexité et émergence

    La modélisation, l'analyse et le contrôle de la complexité sont des mots-clés de plus en plus cités dans les programmes de recherche nationaux et internationaux. Ce thème est commun à de nombreuses préoccupations scientifiques modernes : sciences et technologies du vivant, société de l'information, transports et environnement. Il correspond à un « verrou théorique et technologique ».

     

    Les fractales sont de formidables outils pour comprendre le monde et autres structures complexes. Nous les utilisons pour analyser les processus financiers, la biologie, l'informatique et les mathématiques, la compression d'images, les sciences et technologies du vivant et bien d'autres disciplines encore.

    La beauté de l'art fractal

    C'est sans doute un des grands défis de ces prochaines années, qui nécessite un effort de recherche fondamentale et multidisciplinaire.

    Aux approches traditionnelles mathématiques de la complexité, à la théorie des fractales, des systèmes dynamiques viennent s'adjoindre des thèmes de recherche inspirés de la biologie, comme le Darwinisme artificiel, les algorithmes évolutionnaires, les systèmes multi-agents ou les algorithmes à base de colonies d'insectes sociaux que vous découvrirez dans ce dossier.

     

     

     

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